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Extremwertaufgabe Dachboden
Frage eines Schülers: Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 4,8m und einer Breite von 8m. In ihm soll ein möglichst großes quaderförmiges Zimmer eingerichtet werden. Hallo Marcel, dein (dreidimensionales) Problem reduziert sich schnell auf 2 Dimensionen: du sollst in ein gleichschenkliges Dreieck ein Rechteck einzeichnen, wobei eine Rechteckseite auf der Dreieckgrundseite zu liegen kommt. Die Fläche des Rechtecks soll dann maximal werden. Zur Verdeutlichung eine Skizze: >> In ihm soll ein möglichst großes quaderförmiges >> Zimmer eingerichtet werden. Gemeint ist hier möglichst großer Zimmerquerschnitt bzw. Volumen; die maximale Zimmerfläche würdest du bei sehr niedriger Zimmerhöhe (h -> 0) bekommen, was aber in der Praxis unsinnig wäre. Hauptbedingung: Fläche des Rechtecks soll maximal werden. A(a,b) = a·b Nebenbedingung: Strahlensatz Betrachte ein halbes Dreieck in der Skizze (Höhe, halbe Grundseite, Schenkel): kurz : lang = kurz : lang b/2 : g/2 = (h-a) : h mit g=8 ; h=4,8 b / 8 = (4,8-a) / 4,8 b = ...a... Zielfunktion: NB in HB einsetzen A(a) = a · ...a... Von dieser Funktion musst du nur noch das Maximum bestimmen (ist aber sehr einfach, da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt). Noch ein Tipp zur Lösung: die Breite des Zimmers steht im gleichen Verhältnis zur Breite des Dachstuhles wie Zimmerhöhe zu Dachstuhlhöhe [smile] Wenn du noch Fragen zu der Aufgabe hast, melde dich einfach hier! Harald Ziebarth - STUDIENKREIS-Team -
Author: Harald Ziebarth	gepostet am: 09.09.2002 um 00:09:07